Top-office11.ru

IT и мир ПК
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Как задать матрицу в matlab

Как задать матрицу в matlab

Выше были рассмотрены операции с простыми переменными. Однако с их помощью сложно описывать сложные данные, такие как случайный сигнал, поступающий на вход фильтра или хранить кадр изображения и т.п. Поэтому в языках высокого уровня предусмотрена возможность хранить значения в виде массивов. В MatLab эту роль выполняют векторы и матрицы.

Ниже показан пример задания вектора с именем a, и содержащий значения 1, 2, 3, 4:

a = [1 2 3 4]; % вектор-строка

Для доступа к тому или иному элементу вектора используется следующая конструкция языка:

disp( a(1) ); % отображение значения 1-го элемента вектора
disp( a(2) ); % отображение значения 2-го элемента вектора
disp( a(3) ); % отображение значения 3-го элемента вектора
disp( a(4) ); % отображение значения 4-го элемента вектора

т.е. нужно указать имя вектора и в круглых скобках написать номер индекса элемента, с которым предполагается работать. Например, для изменения значения 2-го элемента массива на 10 достаточно записать

a(2) = 10; % изменение значения 2-го элемента на 10

Часто возникает необходимость определения общего числа элементов в векторе, т.е. определения его размера. Это можно сделать, воспользовавшись функцией length() следующим образом:

N = length(a); % (N=4) число элементов массива а

Если требуется задать вектор-столбец, то это можно сделать так

a = [1; 2; 3; 4]; % вектор-столбец

b = [1 2 3 4]’; % вектор-столбец

при этом доступ к элементам векторов осуществляется также как и для векторов-строк.

Следует отметить, что векторы можно составлять не только из отдельных чисел или переменных, но и из векторов. Например, следующий фрагмент программы показывает, как можно создавать один вектор на основе другого:

a = [1 2 3 4]; % начальный вектор a = [1 2 3 4]
b = [a 5 6]; % второй вектор b = [1 2 3 4 5 6]

Здесь вектор b состоит из шести элементов и создан на основе вектора а. Используя этот прием, можно осуществлять увеличение размера векторов в процессе работы программы:

a = [a 5]; % увеличение вектора а на один элемент

Недостатком описанного способа задания (инициализации) векторов является сложность определения векторов больших размеров, состоящих, например, из 100 или 1000 элементов. Чтобы решить данную задачу, в MatLab существуют функции инициализации векторов нулями, единицами или случайными значениями:

a1 = zeros(1, 100); % вектор-строка, 100 элементов с
% нулевыми значениями
a2 = zeros(100, 1); % вектор-столбец, 100 элементов с
% нулевыми значениями
a3 = ones(1, 1000); % вектор-строка, 1000 элементов с
% единичными значениями
a4 = ones(1000, 1); % вектор-столбец, 1000 элементов с
% единичными значениями
a5 = rand(1000, 1); % вектор-столбец, 1000 элементов со
% случайными значениями

Матрицы в MatLab задаются аналогично векторам с той лишь разницей, что указываются обе размерности. Приведем пример инициализации единичной матрицы размером 3х3:

E = [1 0 0; 0 1 0; 0 01]; % единичная матрица 3х3

E = [1 0 0
0 1 0
0 0 1]; % единичная матрица 3х3

Аналогичным образом можно задавать любые другие матрицы, а также использовать приведенные выше функции zeros(), ones() и rand(), например:

A1 = zeros(10,10); % нулевая матрица 10х10 элементов

A2 = zeros(10); % нулевая матрица 10х10 элементов
A3 = ones(5); % матрица 5х5, состоящая из единиц
A4 = rand(100); % матрица 100х100, из случайных чисел

Для доступа к элементам матрицы применяется такой же синтаксис как и для векторов, но с указанием строки и столбца где находится требуемый элемент:

A = [1 2 3;4 5 6;7 8 9]; % матрица 3х3
disp( A(2,1) ); % вывод на экран элемента, стоящего во
% второй строке первого столбца, т.е. 4
disp( A(1,2) ); % вывод на экран элемента, стоящего в
% первой строке второго столбца, т.е. 2

Также возможны операции выделения указанной части матрицы, например:

B1 = A(:,1); % B1 = [1; 4; 7] – выделение первого столбца
B2 = A(2,:); % B2 = [1 2 3] – выделение первой строки
B3 = A(1:2,2:3); % B3 = [2 3; 5 6] – выделение первых двух
% строк и 2-го и 3-го столбцов матрицы А.

Размерность любой матрицы или вектора в MatLab можно определить с помощью функции size(), которая возвращает число строк и столбцов переменной, указанной в качестве аргумента:

a = 5; % переменная а
A = [1 2 3]; % вектор-строка
B = [1 2 3; 4 5 6]; % матрица 2х3
size(a) % 1х1
size(A) % 1х3
size(B) % 2х3

© 2020 Научная библиотека

Копирование информации со страницы разрешается только с указанием ссылки на данный сайт

Математические пакеты (MATLAB).

Работа с матрицами.

Матрица — прямоугольная таблица.

dim A (dimention — размерность) = n*m.

Это означает, что матрица имеет n строк и m столбцов.

    Матрицы:
  • 1*m — матрица-строка;
  • n*1 — матрица-столбец;
  • n*n — квадратная матрица.

Квадратная матрица — важнейший частный случай.

Если элементы главной диагонали равны 1, а остальные равны 0, то такая матрица называется «единичной» (обозначение: E или I).

Пример: определить матрицу для системы MATLAB.

Решение: в системе MATLAB для матриц применяются буквенные обозначения. Множество элементов записывается в квадратных скобках «[]»; элементы одной строки записываются через запятую или через пробел, строки разделяются точкой с запятой «;».

Читать еще:  Скачать database desktop delphi

A = [3 2; 1 4];
или
A = [3 2; 1 4]

A = [3, 2; 1, 4];
или
A = [3, 2; 1, 4]

Рассмотрим различия между строками: очевидно, различие между парами строк состоит лишь в использовании запятой или пробела (см. выше). Другой вопрос — использовать ли точку с запятой в конце строки?

Если Вы хотите, чтобы система MatLab отобразила результат операции в рабочем поле, точку с запятой ставить не нужно.

Приведем результаты работы программ:

Без точки с запятой:

С точкой с запятой:

Любое число является матрцей размерностью 1*1.

Действия над матрицами:

  1. A+B — сложение (размерности матиц должны совпадать): A+B = [aij+bij] — складываются соответственнае элементы. Команда MATLAB: A+B;
  2. c*A — умножение на скаляр (с — скаляр, т.е. какое-то число). Команда MATLAB: 2*A;
  3. A*B — умножение матриц (количество столбцов первой матрицы должно быть равно количеству строк второй). Итоговая матрица имеет размерность: * . Команда MATLAB: A*B;

Внимание! A*B не равно(!) B*A.

Для матриц не определена операция деления (X = b/A). Зато есть операция нахождения обратной матрицы (Команда MATLAB: A -1 ). Тогда X = A -1 *b. Команда MATLAB: X = A^(-1).

Умножение матриц (MATLAB).

Узнать, как математически выполняется умножение матриц, можно в соответствующем разделе: Математика/Умножение матриц.

В MATLAB у множение записывается при помощи оператора * или .* (для поэлементного умножения).

Пример: выполнить умножение матриц в системе MATLAB:

    Команды MATLAB:
  1. A = [0 1 -1; 0 2 1];
  2. B = [1 2; -1 0; 0 1];
  3. A*B;

Определитель квадратной матрицы.

Естественно, необходимо знать, как математически вычисляется определитель матриц. Почитайте в соответствующем разделе: Математика/Определитель (детерминант) матрицы.

В MATLAB нахождение определителя записывается при помощи команды det( ).

Пример: найти определитель матрицы A = [0 1; 2 0] с помощью MATLAB.

Обратная матрица.

Обязательно прочитайте, как математически вычисляется обратная матрица, в соответствующем разделе: Математика/Нахождение обратных матриц.

В MATLAB нахождение обратных матриц записывается при помощи команды ^(-1).

Пример: найти обратную матрицу для A = [2 3 1; 2 8 0; 5 6 3] с помощью MATLAB.

    Команды MATLAB:
  1. A = [2 3 1; 2 8 0; 5 6 3];
  2. A^(-1)

Ответ: A -1 =[12 -1.5 -4; -3 0.5 1; -14 1.5 5].

Как задать матрицу в matlab

Операции с векторами и матрицами

Создание стандартных матриц

Создание векторов равноотстоящих точек в линейном и логарифмическом масштабах

Создание массивов со случайными элементами

Изменение порядка расположения элементов матриц

Вычисление сумм и произведений

Изменение формы матриц

Выделение треугольных частей матриц

Вычисление тестовых матриц

Матрицы представляют собой самые распространенные объекты системы MATLAB. Ниже описываются основные операции с матрицами. По обилию матричных операторов и функций MATLAB является лидером среди массовых систем компьютерной математики.

Создание матриц с заданными свойствами

Создание единичной матрицы

Для создания единичной матрицы (она обычно обозначается как Е) служит функция eye:

еуе(n) — возвращает единичную матрицу размера nrn;

eye(m.n) или еуе([m n]) — возвращают матрицу размера mm с единицами по диагонали и нулями в остальных ячейках;

eye(size(A)) — возвращает единичную матрицу того же размера, что и А.

Единичная матрица не определена для многомерных массивов. Так, функция у = eye([2,3,4]) при попытке ее вычисления приведет к ошибке.

Пример использования функции eye:

Создание матрицы с единичными элементами

Для создания матриц, все элементы которых — единицы, используется функция ones:

ones(n) — возвращает матрицу размера nхn, все элементы которой — единицы. Если п — не скаляр, то появится сообщение об ошибке;

ones(m.n) или ones([m п]) — возвращают матрицу размера mxn, состоящую из единиц;

ones(dl.d2,d3. ) или ones([dl1 d2 d3. ]) — возвращает массив из единиц с размером d1xd2xd3x. ;

ones(size(A)) — возвращает массив единиц той же размерности и размера, что и А. Матрица с единичными элементами в отличие от единичной матрицы в MATLAB определена и для многомерных массивов.

Создание матрицы с нулевыми элементами

Иногда нужны матрицы, все элементы которых — нули. Следующая функция обеспечивает создание таких матриц:

zeros(п) — возвращает матрицу размера nхn, содержащую нули. Если n — не скаляр, то появится сообщение об ошибке;

zeros(m.n) или zeros([m n]) — возвращают матрицу размера mxn, состоящую из нулей;

zeros(d1.d2,d3. ) или zeros([d1.d2.d3. ]) — возвращают массив из нулей размера d1xd2xd3x. ;

zeros(size(A)) — возвращает массив нулей того же размера и размерности, что и А.

Создание линейного массива равноотстоящих точек

Функция linspace формирует линейный массив равноотстоящих узлов. Это подобно оператору :, но дает прямой контроль над числом точек. Применяется в следующих формах:

llnspace(a.b) — возвращает линейный массив из 100 точек, равномерно распределенных между а и b;

Читать еще:  Html help workshop на русском

linspace(a,b,n) — генерирует п точек, равномерно распределенных в интервале от а до b.

Columns I through 7

4.0000 5.2308 6.4615 7.6923 8.9231 10.153811.3846

Columns 8 through 14

Создание вектора равноотстоящих в логарифмическом масштабе точек

Функция logspace генерирует вектор равноотстоящих в логарифмическом масштабе точек. Она особенно эффективна при создании вектора частот. Это логарифмический эквивалент оператора : и функции linspace:

logspace(a.b) — возвращает вектор-строку из 50 равноотстоящих в логарифмическом масштабе точек между декадами 10^0 и 10^b;

logspace(a.b.n) — возвращает n точек между декадами 10^a и 10^b;

logspace(a.pi) — возвращает точки в интервале между 10^a и п. Эта функция очень полезна в цифровой обработке сигналов.

Все аргументы функции logspace должны быть скалярными величинами. Пример:

Columns 1 through 7

Columns 8 through 14

Создание массивов со случайными элементами

р = randperm(n) — возвращает случайные перестановки целых чисел 1:n в векторе-строке. Пример:

Функция rand генерирует массивы случайных чисел, значения элементов которых равномерно распределены в промежутке (0, 1):

rand(n) — возвращает матрицу размера nхn. Если n — не скаляр, то появится сообщение об ошибке;

rand(m.n) или rand([m п]) — возвращают матрицу размера mxn;

rand(m.n,p. ) или rand([m n р. ]) — возвращает многомерный массив;

rand(size(A)) — возвращает массив того же размера и размерности, что и А, с элементами, распределенными по равномерному закону;

rand (без аргументов) — возвращает одно случайное число, которое изменяется при каждом последующем вызове и имеет равномерный закон распределения;

rand(‘ state’) — возвращает вектор с 35 элементами, содержащий текущее состояние генератора случайных чисел с равномерным распределением. Для изменения состояния генератора можно применять следующие формы этой функции:

    rand(‘state’ .s) — устанавливает состояние в s;

    rand( ‘state’ ,0) — сбрасывает генератор в начальное состояние;

    rand( ‘state’. j) — для целых j, устанавливает генератор в j-е состояние;

    rand( ‘state’ ,sum(100*clock)) — каждый раз сбрасывает генератор в состояние, зависящее от времени.

    0.9501 0.8913 0.8214

    0.2311 0.7621 0.4447

    0.6068 0.4565 0.6154

    0.4860 0.0185 0.7919

    Проверить равномерность распределения случайных чисел можно, построив большое число точек на плоскости со случайными координатами. Это делается с помощью следующих команд:

    Полученный при этом график показан на рис. 10.1. Нетрудно заметить, что точки довольно равномерно распределены на плоскости, так что нет оснований не доверять заданному закону распределения координат точек.

    Рис. 10.1. Случайные точки с равномерным распределением координат на плоскости

    Функция randn генерирует массив со случайными элементами, распределенными по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением, равным 1:

    randn(n) — возвращает матрицу размера nхn. Если n — не скаляр, то появится сообщение об ошибке;

    randn(m.n) или randn([m n]) — возвращают матрицу размера mxn;

    randn(m,n,p. ) или randn([m n р. ]) — возвращает массив с элементами, значения которых распределены по нормальному закону;

    randn(size(A)) — возвращает массив того же размера, что и А, с элементами, распределенными по нормальному закону;

    randn (без аргументов) — возвращает одно случайное число, которое изменяется при каждом последующем вызове и имеет нормальное распределение;

    randn( ‘state’) — возвращает двухэлементный вектор, включающий текущее состояние нормального генератора. Для изменения состояния генератора можно применять следующие формы этой функции:

      randn(‘state’,s) — устанавливает состояние в s;

      randn(‘state’ ,0) — сбрасывает генератор в начальное состояние;

      randn(‘state’, j) — для целых j устанавливает генератор в J-e состояние;

      randn(‘state’, sum( 100*clock)) — каждый раз сбрасывает генератор в состояние, зависящее от времени.

      -0.4326 -1.1465 0.3273

      -1.6656 1.1909 0.1746

      0.1253 1.1892 -0.1867

      0.2877 -0.0376 0.7258

      Проверить распределение случайных чисел по нормальному закону можно, построив гистограмму распределения большого количества чисел. Например, следующие команды

      строят гистограмму (рис. 10.2) из 100 столбцов для 10 000 случайных чисел с нормальным распределением.

      Рис. 10.2. Гистограмма для 10 000 нормально распределенных чисел в 100 интервалах

      Из рисунка видно, что огибающая гистограммы действительно близка к нормальному закону распределения.

      В пакете расширения Statistics Toolbox можно найти множество статистических функций, в том числе для генерации случайных чисел с различными законами распределения и определения их статистических характеристик.

      Конкатенацией называют объединение массивов, которое реализует следующая функция.

      С = cat (dim, А, В) — объединяет массивы А и В в соответствии со спецификацией размерности dim и возвращает объединенный массив; dim = 1 — горизонтальная конкатенация, dim = 2 — вертикальная, dim = 3 — многомерный массив размерности 3 и т. д.;

      С = cat(dim,Al,A2,A3,A4. ) объединяет все входные массивы (А1, А2, A3, А4 и т. д.) в соответствии со спецификацией размерности dim и возвращает объединенный массив;

      Читать еще:  Выравнивание текста по левому краю html

      cat(2.A,B) — это то же самое, что и [А,В],асаt(,А,В) —то же самое, что и [А; В]. При записи cat (dim, С (:)) или cat (dim, С. field) эта функция применима к массивам ячеек или структур, содержащим численные матрицы. Пример:

      Создание матриц с заданной диагональю

      Свойства матриц сильно зависят от их диагональных элементов. Следующая функция MATLAB позволяет создавать специальные типы матриц с заданными диагональными элементами:

      X = diag(v.k) — для вектора v, состоящего из п компонентов, возвращает квадратную матрицу X порядка n+abs(k) с элементами v на k-й диагонали, при k=0 -это главная диагональ (из левого верхнего угла матрицы в правый нижний угол), при k>0 — одна из диагоналей (диагональ в терминологии MATLAB — это линия, параллельная главной диагонали) выше главной диагонали, при k

      X = diag(v) — помещает вектор v на главную диагональ (то же. что и в предыдущем случае при k=0);

      v = diag(X.k) — для матрицы X возвращает вектор-столбец, состоящий из элементов n-й диагонали матрицы X;

      v = diag(X) — возвращает главную диагональ матрицы X (то же, что и в предыдущем случае при k=0).

      Решение СЛАУ и матрицы в Matlab

      Доброго времени суток, читатели! Сегодня мы поговорим о матрицах в Matlab, об их применении в решении систем линейных алгебраических уравнений. Подробно разберем методы решения, и для этого необходимо знание нескольких базовых алгоритмов.

      Также стоит отметить, что у каждого алгоритма, которым мы будем искать решение СЛАУ в Matlab, своя скорость нахождения этого решения, наличие или отсутствие условия выполнения алгоритма и т.д.

      В традициях нашего сайта разберём на примере:

      Решить систему линейных уравнений:

      4*a + b — c = 6
      a — b + c = 4
      2*a — 3*b — 3*c = 4

      Метод обратной матрицы в Matlab

      Начнем с достаточно распространенного метода. Его суть состоит в том, что сначала необходимо выписать коэффициенты при a, b и c (то есть те коэффициенты, которые находятся слева) в одну матрицу, а свободный член (то есть то, что справа) в другую.

      В итоге у нас получится 2 матрицы:

      Для реализации этого метода (и следующих методов тоже) требуется одно условие: чтобы определитель матрицы, составленной из коэффициентов левой части не был равен нулю. Проверка на определитель:

      После проверки условия можем перейти к следующему шагу: нахождение обратной матрицы. В Matlab для этого используется оператор inv .
      А само решение СЛАУ в Matlab находится как перемножение найденной обратной матрицы на матрицу свободных членов:

      Мы получили 3 значения, которые и соответствуют нашим коэффициентам: то есть a = 2, b = -1, c = 1 . Можете проверить, подставив полученные ответы в исходную систему, и убедиться, что мы решили СЛАУ правильно.

      Также следует отметить, что матрицы нужно перемножать именно, как сделали мы, то есть слева обратная матрица, справа матрица свободных членов.

      Если вы не все поняли, то советую вам почитать нашу статью по основам Matlab.

      Метод Гаусса

      Метод Гаусса в Matlab реализуется достаточно просто: для этого нам нужно всего лишь изучить один новый оператор.
      () — левое деление.
      При следующей записи:

      Мы получим ответы на нашу исходную систему. Только заметьте, мы решили СЛАУ стандартным набором функций в Matlab, и желательно этот оператор использовать когда матрица коэффициентов квадратная, так как оператор приводит эту матрицу к треугольному виду. В других случаях могут возникнуть ошибки.

      Метод разложения матрицы

      Теперь поговорим о разложении матрицы. Нахождение решения через разложение матрицы очень эффективно. Эффективность обусловлена скоростью нахождения решения для данного вида систем и точностью полученных результатов.

      Возможны следующие разложения:

      • разложение Холецкого
      • LU разложение
      • QR разложение

      Разберём решение через LU и QR разложение, так как в задачах чаще всего встречается задание на решение именно через такие разложения.

      Основное отличие этих двух разложений: LU разложение применимо только для квадратных матриц, QR — возможно и для прямоугольных.

      LU разложение

      Решим выше предложенную задачу через LU разложение:

      QR разложение

      И через QR разложение соответственно:

      Отметим, что апостроф ( ) после Q означает транспонирование.

      Стандартные функции Matlab

      Так же Matlab предлагает функцию linsolve , с помощью которой возможно решить систему линейных алгебраических уравнений. Выглядит это так:

      Как видите, ничего сложного тут нет, на то они и стандартные функции Matlab.

      Повторение

      Итак, сегодня мы с вами изучили несколько методов для решения СЛАУ в Matlab, как с помощью матриц, так и с помощью стандартных функций. Давайте их повторим на другом примере:

      Решить систему линейных уравнений:
      6*a — b — c = 0
      a — 2*b + 3*d = 0
      3*a — 4*b — 4*c = -1

      • Методом обратной матрицы:
      • Методом Гаусса:
      • LU разложение:
      • QR разложение:

      На этом я с вами попрощаюсь, надеюсь, вы научились применять матрицы в Matlab для решения СЛАУ.

      Ссылка на основную публикацию
      Adblock
      detector